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费马大定理:一个傲娇法国人的诡异故事

时间:2021-03-30 09:53:38 作者:迷迷 来源:51区未解之谜网 手机阅读

这个故事正如数学科普作家西蒙·辛格在一个“数字狂”(Numberphile)视频中所说:这个十七世纪的法国数学家,皮埃尔·德·费马,坐在他的私人图书馆中正读着一本书。他激动地写下了他的一个新发现,就在书的角落里——一个咱们现在称为费马大定理,或简写为FLT的断语——但他紧接着写道,书的边角当地太小以至于写不下他的证明。在他还没能跟任何人沟通这个问题的细节之前,“他就暴毙而亡了。”

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关于这个版别的费马大定理故事,我有两个疑问,而且它好像在暗示是主人公的逝世才导致这个重要的数学秘密被久久尘封。首先,咱们看过太多遍“秘密在临死前始终说不出口”的电影片段了;这很做作可笑,不是吗?第二,并没有依据标明费马死前写过那样一段话。咱们无法回到过去确定他所使用过的墨水,由于在他的注释被人转录之后原书就不见了,可是从费马的函件中咱们能够得知,他读这本书是在职业生涯前期,大约1630年代。大多数学者以为这个传奇的注释写于他逝世之前二十年。所以辛格在他的视频2分15秒开端杜撰了一个过于戏剧性的故事。他仍然确信费马是带着一个没有向任何人提醒的他所宣称的证明归于尘土的。

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多亏了现代数学家安德鲁·怀尔斯,咱们才能够知道费马的宣称是正确的,他也由于在费马大定理上的著名作业而在不久前获得了阿贝尔奖。可是,费马真的有那个绝妙的证明吗?这正是我今日想要评论的。当咱们评论这个费马没有提醒的最著名的证明时,我将要告知你费马确实创造了一个证明办法——一个能够美好地处理其它的与此类似办法数论问题的办法。

这本使得费马很丢面子的书是他私人抄本的《丢番图算术》。而吸引了费马注意力的那一页上评论的问题是:将一个平方数分解为两个平方数的和。(5?2;=4?2;+3?2;,20?2;=16?2;+12?2;,再不然分数也行,4?2; = (16/5)?2; + (12/5)?2;,由于丢番图对分数和整数都相同满足。)


费马在书的边上写道:“然而,你却不或许将一个立方数写成两个立方数之和,也不能将一个四次幂数写成两个四次幂数之和,或者更一般的,任何一个高于二次幂的数都不能写成两个和它同次幂的数之和。我现已发现了一个绝妙的证明,可是这里太窄了,我写不下了。”用现代的记号标明即:若n是一个大于2的正整数,则方程x^n + y^n = z^n (x^n 标明x的n次方)没有非零的有理数解(你或许会想为什么我会说“有理数”而不是“整数”?细心想一想)。费马的儿子在费马1665年去世之后整理出书了父亲的手稿和笔记,才使得这个断语公之于众。

费马是仔细的吗?

考虑到费马在今人中的名声很大一部分源自于这个宣称,一些人想知道是否有或许他故意误导后世的人们以赢得身后的荣耀——他明知这是个困难无比的问题,但在心里察觉到,若他宣称有一个办法,那他身后就会像一个无与伦比的圣人那般著名。他的所谓的证明会是纯粹的虚张声势吗?

这是个有意思的观念,但这并不符合咱们了解的费马和他那个年代的人。像费马大定理这样的问题并不能激起费马时期那些顶尖的数学家太多的爱好。微积分正在欧洲文化的子宫里孕育,那些导致了微积分被创造出来的问题才是人们的爱好所在。费马在解析几许、核算范畴、光学、最优化上的创造性作业——正是这些让他享有巨大的声誉。

相反,费马在企图让人们信任比方他的大定理之类的问题有很大价值时遇到了重重困难。他用以构造“佩尔-费马方程”解的进程确实引起了一些人的爱好,比方约翰·沃利斯,可是沃利斯觉得费马否定性的效果索然无味。布莱斯·帕斯卡,他很欣赏费马在概率论上先驱性的作业,然而对费马在数论上的作业却是嗤之以鼻。


假如我活在费马的年代,我会很同情费马尽力所做的作业,可是恐怕我很或许会站在那些置疑者的一边。我能幻想我自己会说:“数学难道不该是解出方程,而不是证明它们无解吗?假如企图找出所有数字解导致咱们要去考虑那些压根就没有解的方程,那么从一开端,企图寻觅它们的解不便是个过错吗?难道这不是告知咱们费马在问一些过错的问题吗?”

费马敦促他的同年代人在解方程时参加有理性和整数性的要求,并没有其他原因,纯粹是为了使方程更具挑战性。在实数范围内简略解出的方程,在加上比方有了解或整数解等附加条件后会变得极端困难而精妙。后代人开端视这种精妙为一件好事;这些问题很难但仍然可解的现实标明了这些问题值得研讨。随后世纪里最巨大的数学家们,比方莱昂哈德·欧拉、卡尔·弗雷德里希·高斯,对费马的作业十分感爱好,乃至对他遗留下来未完成的作业更加有爱好;他们的认可使得费马关于整数疑团的凌乱口袋变成了数学中一个叫数论的分支,并赋予了这个范畴自己的合理性和无尚荣耀。应当阐明高斯对费马大定理并不伤风,他曾清晰指出(在对n=3的景象找到一个证明后)在数论中能够很轻易地提出许多这样很困难的问题。

到十九世纪前期,数学家们现已处理了费马所有的猜测——除了这一个,这也致使这个遗留的问题被冠以“费马大定理”的名号。(不妨告知你,费马“倒数第二大定理”是被柯西在1813年证明了。)费马宣称他关于费马大定理的证明是“绝妙的”给人类知识的距离增添了额外的凄美。

让咱们返回十七世纪,费马问题的巨大困难使得许多数学家以为他们应该把心血尽力转移到别的当地。正如费马的同代人克里斯蒂安·惠更斯写道,“有别的更好的东西等着咱们去做。”所以,要是费马想用不诚实的断语来使人们佩服,那他就不该打费马大定理的主见。


你仍能够尖刻的置疑,费马的缄默便是他底子没有那个证明的依据。不过你得知道,关于费马而言,对一个出题不给出证明是一件寻常的事,并不是什么例外。他没有发表任何关于数的作业,但他经过和其他数学家的通讯来是自己满足。(不错,费马是一个“业余的数学家”,不过话说回来,谁不是呢?)他就像在和他的通讯者玩一个美妙的游戏,他提出一个问题而且暗示假如对方无法处理他就会提醒答案。所以,很有或许费马确有一个关于他的“大定理”的证明,可是在他人费尽心机徒劳无益之前他不肯揭秘,这样就更能显现他自己的聪明。

总之,我从未见过任何可信的依据标明费马在册页边角写下的评注是在误导后人。我以为费马是真的找到了一个论据而且他觉得是一个有效的证明。那绝不是安德鲁·怀尔斯和理查德·泰勒的手法,他们的手法包含了太多的数学新概念(像是“椭圆曲线”)和历代数学研讨者的出色效果,这些都是在费马身后才被发展出来的。数学史专家们以为费马一定拥有一个他自己确信无疑的证明。

假如咱们想要了解当费马说他证明了某个数论中的问题时他是什么意思,咱们需求了解他用了何种办法。幸运的是,这一点费马能够亲身告知咱们,由于在他一生中,他确实给出了这么一个数论问题的具体证明进程。他使用了一种办法,他以为是他对数论这门学科最重要的贡献:在1657年给皮埃尔·德·卡尔加维的一封信中,费马称其为“无量递降法”。


无量递降法

很简略给出一个后项比前项大的无量正整数序列:如素数序列、完全数序列或者1,2,3,4……但你能想出一个后项比前项小的无量正整数序列吗?只需稍微想想你就会回答“不或许”。比方,取第一项是一百万,那么第二项至多是999999,第三项至多是999998,一向下去;在一百万项之后(不会更多),这个序列就会发现自己被逼到了角落里,这是由于每一项都要求是正整数。假如第一项不是一百万,是个更大的数,比方十亿,那么这个序列仍然会抵达结尾,尽管要许多许多项之后。这便是说,不存在无限长的正整数递减序列;不管首项多么大,一个正整数的递减序列迟早都会完结。这个好像不起眼的费马原理却有着含义深远的效果。

举个比方,让咱们把费马的办法运用到这个方程:xy + y?2; = x?2; ,咱们来证明它没有正整数解。费马会用纯代数的办法来陈说他的证明,而我将选用几许的途径,来使证明的逻辑更明晰。要提醒的是,费马从未将他的无量递降法用在这样简略的方程上,他创造这个办法是为了敲开更硬的坚果,例如方程x^4 + y^4 = z?2;,在他给卡尔加维的信中清晰的展示了这个办法。


为了咱们对方程 的剖析,首先把“x”用“a”代替,把“y”用“b”代替,这样方程就变成了ab + b?2; = a?2;;然后将它变形为(a+b)/a = a/b;接下来将这个方程标明为几许办法,咱们能够画一个a×(a+b)的矩形,它里面包含了一个a×a的正方形和一个a×b的矩形。

方程(a+b)/a = a/b标明大矩形类似于小矩形:行将大矩形旋转90度,再把它按比例缩小就得到了小矩形。因而,这个大矩形便是古希腊人所说的“黄金矩形”:它包含了一个正方形和其本身的缩小版。相同,这个小矩形也类似于大矩形,它也是个黄金矩形;正如下图所示。所以,这个小矩形也能够分解为一个正方形和一个更小的矩形;这个更小的矩形还能分解成一个正方形和一个更更小的矩形……能够将这个进程一向无限进行下去。

当你第一次看这张图或许会有点晕厥,但这在数学上不成问题。假如从一个黄金矩形开端,你能够画越来越小的正方形和越来越小的黄金矩形,直到你实在没耐心了(或者找不到更尖细的铅笔了)。可是,假如你不是从一个黄金矩形开端会怎样样呢?要是你想徒手画一个黄金矩形,怎样画呢?乃至假如你要求你的黄金矩形每边都是整数个单位长,这又会怎么呢?

这样的话,你就陷入了麻烦之中,而费马的无量递降原理会告知咱们为什么。可是首先,咱们需求对图一做一个好像很天真的调查:假如大矩形的边是整数,那么小矩形的边也是整数(代数言语:若a+b和a是整数,则a和b是整数。这是由于咱们能够将b写为(a+b)-a,这是两个整数的差。)为了看出这将导出什么,来看接下去的下面那张图中的小黄金矩形。假如最大的是整数边,那么小的也是,更小的也是,一向下去都是。这样,咱们就得到了一个无量递减的整边矩形序列。看出问题了吗?拿出每个矩形的短边,咱们能够得到一个无量多项递减的正整数序列——可是这是不或许的,这由无量递降原理可知。所以,不存在一个整数边长的黄金矩形。


直接证明

咱们刚刚所展示的证明便是一个直接证明:为了阐明某个出题在数学上是不成立的,咱们只需阐明它的成立会与本身产生对立或与已知的产生对立即可。举个比方,为了证明不存在整数边长的黄金矩形,咱们证明了要是这样的矩形存在就会导致存在无量递降正整数序列,而这一点与无量递降原理对立。

假如这是你第一次领略非直接证明,你或许会感到有些不安——这似乎在哄人!假如你这么觉得(有这种感觉很正常),那我告知你这是一种和咱们现实国际并不十分相等的推理办法,在这种推理办法下,事物的性质是受到置疑的,这样你或许会感觉好一些。这或许便是为什么你的大脑会对这种办法有所警惕。可是在数学中咱们处理的是经过准确定义的抽象概念,而不是凭经历的调查所得,因而运用对立来证明是一种合理的推理办法。在构建可数数这一数学论据时,咱们被允许作出没有无量递减的可数数序列这一假定——不是由于咱们在实际生活中没有遇到这样的序列,而是当咱们说可数数时它就现已暗含了这一性质。

假如你以为要是没有直接证明数学会发展的更好,这就有一个问题值得深思:那你还能用什么办法去证明某个东西是不存在的呢?经过遍寻它或许存在的当地然后发现哪儿都没有它?当这样的当地是无限多个时,这种办法就不管用了!

直接证明的一个优点是,在你紧接着的推理进程中提供了十分宽广的目的地:你只需抵达其中任意一个对立的当地,那就完成了证明。能够把推理的进程幻想成地理位置依赖于知识状况的导航进程。假如你企图证明“若出题P,则出题Q”,那么你就会从P动身尝试树立一条通往Q的道路;或许只要惟一一条道路,找到它或许要很高超的技巧。可是,假如你试着去证明出题P和出题Q的否定放在一起能够产生一个对立,不管是什么样的对立都行,都能够使你抵达原来的目的地。你能够立刻就试试从一些前提假定作一些随机的定论,再看看它们把你带到了何处!所以这种证明办法常常能给你提供比直接证明更大的前进空间。

假如你喜欢上面那个没有整数边长的黄金矩形的证明,你能够用相同的办法试着证明,不存在五条边和五条对角线都是整数的正五边形。


费马知道什么?他什么时候知道的?

费马有找到了一个正确的证明的或许性,可是这一点随着时刻流逝变得越发不可信。由于那些掌握着费马所知道的所有数学东西的业余数学家们,满足聪明也花了满足多的时刻在数学上,都没能找到费马大定理的一个初等证明。要是真有那么一个简略的证明,会时至今日还没被发现吗?

大多数历史学家倾向于费马犯了个过错这一观念。(这或许不是他唯一的过错;参看参阅列表中的文章“费马的过错”。)这一假定会更可信假如历史学家们能够重现关于费马大定理的那些貌同实异的费马式的过错证明。其中之一是费马之后两个世纪,数学家拉梅的那个过错证明;尽管它包含着一些费马那个年代所没有的主意(如将复数引进数论),不过费马很或许有一些基于直觉的、奇怪的办法去处理数,而不使用咱们今日的办法,比方精巧的三角学办法。所以费马或许有一个天才的办法比拉梅早两个世纪犯了那个过错。

即使没有拉梅的那个比方,咱们也能够看出费马是在企图处理一个极其简略犯错的问题。证明一个东西不存在简直总是要用到直接证明,当你构建了一个直接证明,找出任意一个对立就行了。这就使得很简略构建出一个虚伪的直接证明:只是犯了一个代数过错,就推出了一个对立,而这个对立却并不能由你最开端的前提假定推出,它只是只是起源于你推理中的一个小过错。

大多数对费马的证明抱有爱好的数学家都得出了和我相同的定论,这也是我在文章标题的挑选中所暗示的。这个词组“深夜小狗奥秘事情”来自于《福尔摩斯》里的故事《银斑马》,在这个故事里,福尔摩斯向苏格兰警察厅的侦探格雷戈里解释了他的推理。


格雷戈里:“你还有其他东西想引起我的注意吗?”

福尔摩斯:“ 这只狗在晚上的奇怪举动。”

格雷戈里:“这只狗夜里什么都没做。”

福尔摩斯:“那才是一件奇怪的事。”

关于咱们而言这个奇怪的事是,在他所有的函件中,包括他1659年最终一封给卡尔加维的信(在这封信中他在总结了他一生在数论中的所做的作业),费马也没有说到他证明了费马大定理。他确实证明了x^4 + y^4 = z?2;没有正整数解,由此能够推出n=4时的费马大定理成立。费马也宣称用他的无量递降法他也证明了x?3; + y?3; = z?3;没有正整数解。可是关于方程x^n + y^n = z^n,当n大于4的时候,他沉默了。是否有或许在他原以为自己证明了费马大定理后,突然意识到实际上他并没有?而他也忘记了在那一页书上重新作个声明,或者他底子就不记住自己写过那段评注?

咱们永远也不或许知道真相了,可是除非直到有更多的依据,那好像是这个数学疑团形似最真实的答案了。


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